Lerne JETZT alles über den Erwartungswert (15 Min.)

Wer mich kennt weiß, dass ich nur ganz wenige Regeln dogmatisch befolge.

Auf den Erwartungswert zu achten gehört aber auf jeden Fall dazu.

Denn warum sollte ich spielen, wenn die Zahlen gegen mich sprechen?

Ich würde hier gerne den Blick des Lesers für diese wirklich einfache Kennzahl schärfen, denn ich bin der Überzeugung für Erfolg und auch für finanzielle Freiheit ist ein Auge dafür unabdingbar.

Wie kann man den Erwartungswert berechnen? Eine einfache Erklärung

Für alle die noch nicht genau wissen worum es sich bei einem Erwartungswert handelt und wie man ihn berechnet, möchte ich es hier mit einem simplen Beispiel erklären:

Stell dir vor, wir beide werfen eine Münze.

Mit 50% Wahrscheinlichkeit kommt Kopf und mit 50% Wahrscheinlichkeit erscheint Zahl.

Wir werfen aber nicht einfach so, sondern wir wetten um kaltes hartes Geld. Dabei vereinbaren wir, dass wenn du gewinnst ich dir 10€ bezahle. Sollte ich jedoch gewinnen, bekomme ich von dir 10€.

Wir wissen, dass in 50% der Fälle du gewinnst und in 50% der Fälle ich. Daher können wir den durchschnittlichen Gewinn pro Spiel berechnen:

0,50*(+10€) + 0,50*(-10€) = 0€

Das heißt, wenn wir unser Spielchen, den Münzwurf, sehr oft wiederholen, werden weder du noch ich auf lange Sicht mit Gewinn aber auch nicht mit Verlust nach Hause gehen.

Der Erwartungswert ist also 0€ für beide von uns.

Natürlich kann es zwischendurch mal vorkommen, dass einer von uns beiden ein paar Mal am Stück hintereinander gewinnt. Es kann sogar sein, dass einer extrem viel öfter als der andere gewinnt.

Je öfter wir aber unsere Münze werfen, desto eher werden wir uns im Durchschnitt dem Erwartungswert annähern. Das folgt aus dem Gesetz der großen Zahlen und lässt sich grafisch so darstellen:

Natürlich kann die Kurve praktisch jede beliebige Form haben, allen gemein ist aber das sie früher oder später gegen ihren Erwartungswert streben:

Hier kommt jetzt die ersten beiden der vier wichtigsten Erkenntnisse im ganzen Beitrag:

1. Dass die obigen Kurven gegen ihren Erwartungswert streben ist wie ein Naturgesetz. Daran kann niemand rütteln.
2. Jedes Spiel ist mathematisch gesehen gleich viel wert. Das 1. genau so viel wie das 10.000.

Nun ändern wir die Regeln ein wenig:

Jedes Mal, wenn du gewinnst, bezahle ich dir 10€ aber jedes Mal wenn ich gewinne bekomme ich von dir nur 9€.

Dein Erwartungswert: 0,50*(+10€) + 0,50*(-9€) = 0,50€

Mein Erwartungswert: 0,50*(+9€) + 0,50*(-10€) = -0,50€

Das heißt, im Durchschnitt gewinnst du bei jedem Spiel 50 Cent. Toll für dich, schlecht für mich. Denn ich verliere im Durchschnitt jedes Mal 50 Cent.

Aus deiner Sicht kann man das grafisch so interpretieren:

Das heißt, dass du hier einen systematischen Vorteil hast.

Du kannst zwar auch in der Verlustzone vorbeischauen aber langfristig ist es unvermeidlich, dass du Gewinn machst. Genauso gut kann es sein, dass ich bei diesem Spiel zwischendurch mehr Geld habe als zuvor. Auf lange Sicht arbeiten die Zahlen aber gegen mich.

Es ist wie gesagt wie ein Naturgesetz.

Daraus folgen die zweiten beiden wichtigsten Erkenntnisse in diesem Beitrag:

3. Wenn wir einen negativen Erwartungswert vor uns haben, dann sollten wir ihn unter allen Umständen vermeiden.

4. Wenn wir einen positiven Erwartungswert vor uns haben, dann sollten wir ihn unter allen Umständen nehmen.

Es gibt auch einen nicht-monetären Erwartungswert

Ein Erwartungswert muss nicht immer auf Geld bezogen sein. Es gibt auch einen emotionalen Erwartungswert.

Beispielsweise vor dem ersten Kuss eines frisch verliebten Pärchens. Einer der beiden macht den Anfang und riskiert dabei etwas. Was wenn es zu früh ist? Was wenn man zurückgewiesen wird? Das wäre emotional eine Enttäuschung.

Aber was wenn es vielleicht doch genau der richtige Zeitpunkt ist? Es könnte phänomenal werden. Der Beginn von etwas ganz Großem!

Nach mehr oder minder starken Überlegen wagt er es und siehe da, es hat sich vollauf gelohnt.

Happy End.

Hier ist nichts Anderes passiert, als der unbewusste Versuch einen Erwartungswert zu bilden. Man sieht sich die Möglichkeiten an und versucht herauszufinden, wie wahrscheinlich diese sind.

Wenn das Ergebnis halbwegs passt, dann tun wir es einfach.

Das schöne bei emotionalen Erwartungswerten ist, dass, wenn wir in uns gefestigt sind, dann ist dieser so gut wie immer positiv.

Stell dir vor, beim obigen ersten Kuss wäre es nicht so gut ausgegangen. Wäre der Verlust wirklich so dramatisch gewesen?

Sicher, im ersten Moment ist es vermutlich unangenehm, peinlich und man denkt sich die Scham bleibt für immer. Aber ganz ehrlich: Die Erde dreht sich weiter, that’s life und zwei Tage später ist das abgehakt.

Der Verlust hält sich in Grenzen, also sollten wir uns ruhig emotional mehr trauen ohne groß darüber nachzudenken.

Wir müssen alles gar nicht ganz genau wissen

Jetzt kann man natürlich argumentieren, dass man nicht immer Höhe des Gewinns oder des Verlusts schon von vornherein kennt. Viel wahrscheinlicher noch (Achtung Wortwitz) ist es sogar, dass man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse nicht genau weiß.

Ich frage dich:

Müssen wir das überhaupt?

Meiner Ansicht nach nein. Oftmals im Leben begegnen uns Situationen, in denen es sonnenklar ist ob wir einem positiven oder negativen Erwartungswert gegenüberstehen.

Paradebeispiel Studium oder Weiterbildung:

Wir können nicht auf den Euro genau abschätzen, wie viel mehr Gehalt wir durch unsere Investition in uns selbst erhalten werden und auch nicht wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür genau ist.

Aber wir ahnen, dass es sich sehr wohl rentiert, denn das durchschnittliche Gehalt ist in vielen Studien erwiesenermaßen höher. Das kann man in nichts Anderes übersetzen, als in einen positiven Erwartungswert.

Dieses Vorgehen ist aus wissenschaftlicher Sicht vielleicht handwerklich nicht ganz sauber aber es ist unglaublich effizient.

Es gibt viele solcher Situationen im Leben und ich behaupte sogar jede davon lässt sich in einen monetären oder emotionalen Erwartungswert übersetzen. Wirklich jede.

Tipp: Eine Hilfestellung für Erwartungswerte im Alltag ist sich zu fragen “Was kann ich verlieren?”. Wenn die Antwort nichts oder fast nichts ist, dann ist der Erwartungswert sehr wahrscheinlich positiv. Dann tu es einfach und zögere nicht.

Ein Nachteil des Erwartungswert

Jetzt habe ich die ganze Zeit in sehr hohen Tönen von diesem Konzept geschwärmt. Zeit also, auch mal einen Kritikpunkt etwas näher zu betrachten.

Sieh dir mal die beiden folgenden Entscheidungsbäume an. Lass uns so tun, als handele es sich um zwei Aktien. Beide sind heute 100€ wert und in einem Jahr gibt es zwei Möglichkeiten, wie sie sich entwickelt haben können.

Nehmen wir auch hier der Einfachheit zuliebe an, bei beiden Aktien sind die beiden Möglichkeiten gleich wahrscheinlich, also 50/50.

Aktie A:

Erwartungswert: 0,50*(110-100)+0,50*(110-100) = 10€

Aktie B:

Erwartungswert: 0,50*(150-100)+0,50*(70-100) = 10€

Beide Aktien haben den gleichen Erwartungswert und sind aus dessen Sicht gleichwertig.

Trotzdem würde jeder vernünftige Mensch sich für das erste Spiel entscheiden. Denn was der Erwartungswert ignoriert ist die Varianz oder Volatilität der Möglichkeiten.

Bei Aktie A bekommen wir mit Sicherheit den erwarteten Wert, bei Aktie B kann es sein, dass wir deutlich mehr bekommen aber auch, dass wir Verlust machen.

Dem Erwartungswert ist das egal. Der sagt dir einfach: “Das passt schon, tu es einfach. Und zwar sofort.”

Warum ich beim Erwartungswert trotzdem etwas dogmatisch bin

Auch wenn man aus akademischer Sicht Kritik üben kann, aus praktischer Sicht ist der Erwartungswert trotzdem unschlagbar.

Er ist simpel, er kann oft zumindest über den Daumen gepeilt werden und er ist schlicht unglaublich effizient.

Sieh es mal so:

Die Antwort der Sinnhaftigkeit von Dingen des Lebens und des Geldes konzentriert in einer einzigen Zahl.

Wow.

Wenn man es schafft, möglichst viele Spiele mit positivem Erwartungswert in seinem Leben hintereinander zu reihen, dann ist Erfolg, in welcher Hinsicht auch immer, eine mathematische Gewissheit.

Fazit

Mit dem Konzept des Erwartungswerts haben wir ein unglaublich mächtiges Instrument, um unsere Entscheidungen einordnen und bewerten zu können. Sei es in finanzieller oder auch emotionaler Hinsicht.

Es erlaubt uns abzuschätzen was wir tun und, viel wichtiger noch, was wir mal besser lassen sollten.

Denn diesem Gesetz entgeht keiner und ich weiß nicht wie du das siehst aber ich will mich nicht mit der Macht der Zahlen anlegen.

Was denkst du über den Erwartungswert? Gefällt dir die Philosophie dahinter? Lass es mich jetzt wissen!

Foto: alf.melin